משיקים למעגלגאומטריה 571 · שיעור 25

גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 25: משיקים למעגל

פרק 7 · המעגל

1משיק מאונך לרדיוס (ולהפך), משיקים מקבילים

2שני משיקים מנקודה (עם הוכחה)

35 תרגילים, כולל מעגל חסום במשולש

הגדרה + משפט

משיק למעגל

משיק נוגע במעגל בנקודה אחת: נקודת ההשקה A

המשיק מאונך לרדיוס OA

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. ולהפך: ישר המאונך לרדיוס בקצהו – משיק

📐 משפט: שני משיקים מקבילים ← הקטע בין נקודות ההשקה הוא קוטר

📐 הגדרה

משיק: ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד (נקודת ההשקה)

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

משפט + הוכחה

שני משיקים מאותה נקודה

∢OAP = ∢OBP = 90

משיק מאונך לרדיוס

OA = OB , OP משותף

רדיוסים , צלע משותפת

△OAP ≅ △OBP

צ.צ.ז: יתר וניצב

PA = PB , ∢APO = ∢BPO

במשולשים חופפים צלעות וזוויות מתאימות שוות

📐 משפטים: שני משיקים מנקודה – הקטעים שווים, והקטע OP חוצה את הזווית שביניהם

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 הגדרה

מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים

OA = OB = R

📐 כלל

צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה

📐 משפט חפיפה

צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

📐 כלל

במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות

תרגיל 1 · משיק ופיתגורס · קל

PA משיק למעגל שמרכזו O ורדיוסו 5 , ו־PA = 12
מצאו את המרחק OP

∢OAP = 90

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

OA² + PA² = OP²

משפט פיתגורס ב־△OAP

25 + 144 = OP² ⟹ OP² = 169

מציבים

OP = 13

שורש (אורך חיובי)

✅ פתרון סופי: OP = 13

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר

a² + b² = c²

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

שורש: אורך תמיד חיובי

x² = 36 ⟹ x = 6

תרגיל 2 · זוויות עם שני משיקים · בינוני

PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O , ו־∢APB = 50
מצאו את ∢PAB ואת ∢AOB

PA = PB

שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים

∢PAB = ∢PBA = (180 − 50) : 2 = 65

△PAB שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות

∢OAP = ∢OBP = 90

משיק מאונך לרדיוס

∢AOB = 360 − 90 − 90 − 50 = 130

סכום הזוויות במרובע OAPB

✅ פתרון סופי: ∢PAB = 65 , ∢AOB = 130

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

AB = AC ⟹ ∢B = ∢C

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

סכום הזוויות במרובע 360 מעלות

תרגיל 3 · משוואה · קל

PA ו־PB משיקים למעגל. PA = 3x − 2 , PB = x + 8
מצאו את x ואת אורך המשיק

PA = PB

שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים

3x − 2 = x + 8

מציבים

2x = 10 ⟹ x = 5

מעבירים אגפים, כינוס ומחלקים ב־2

PA = 3 · 5 − 2 = 13 , PB = 5 + 8 = 13 ✔

מציבים x = 5

✅ פתרון סופי: x = 5 , אורך המשיק 13

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

תרגיל 4 · מורכב: מעגל חסום במשולש

מעגל חסום במשולש ABC ומשיק לצלעות ב־D , E , F
AB = 8 , BC = 9 , AC = 7. מצאו את AF , BD ו־CE

AF = AE = x , BF = BD = y , CD = CE = z

שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים

x + y = 8 , y + z = 9 , x + z = 7

הצלעות

2x + 2y + 2z = 24 ⟹ x + y + z = 12

מחברים את שלוש המשוואות ומחלקים ב־2

z = 12 − 8 = 4

מחסרים x + y = 8

x = 12 − 9 = 3

מחסרים y + z = 9

y = 12 − 7 = 5

מחסרים x + z = 7

✅ פתרון סופי: AF = 3 , BD = 5 , CE = 4

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

תרגיל 5 · מורכב: משיקים ושטח

PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. OP = 10
מצאו את אורך המשיקים ואת שטח המרובע OAPB

∢OAP = 90

משיק מאונך לרדיוס

OA² + PA² = OP²

משפט פיתגורס ב־△OAP

36 + PA² = 100 ⟹ PA² = 64

מציבים ומעבירים אגפים

PA = 8

שורש (אורך חיובי)

PB = PA = 8

שני משיקים מאותה נקודה

S(OAP) = OA · PA : 2 = 6 · 8 : 2 = 24

שטח משולש ישר זווית: ניצב כפול ניצב חלקי 2

S(OAPB) = 2 · 24 = 48

△OAP ≅ △OBP – שטחים שווים

✅ פתרון סופי: המשיקים 8 , שטח OAPB הוא 48

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר

a² + b² = c²

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

שורש: אורך תמיד חיובי

x² = 36 ⟹ x = 6

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 נוסחה

שטח משולש

S = (צלע · הגובה אליה) : 2

📐 משפט חפיפה

צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 משפט

הקטע ממרכז המעגל לנקודה שממנה יוצאים שני משיקים חוצה את הזווית בין המשיקים

📐 משפט

אם שני משיקים מקבילים ← הקטע בין נקודות ההשקה הוא קוטר

💡 רואים משיק? מיד מחברים רדיוס לנקודת ההשקה ומסמנים 90.

בשיעור הבא: מרובע חסום ומרובע חוסם

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא